Witam na stronie z korepetycjami z matematyki on-line i zapraszam do korzystania.



Funkcje liniowe.



Żeby zobrazować sytuację musimy już przejść do pierwszego podstawowego wzoru funkcji liniowej, czyli:

y=ax+b.

Jak byłem w szkole, to też nic z tego nie wiedziałem. Wierzcie mi - z matematyki byłem dobry, z polskiego trochę gorzej, ale za nic w świecie nie mogłem pojąć, jak pomnożyć a przez x, do tego wszystkiego dodać b, tak żeby wyszło y.

A to oznacza nic innego jak tylko to, jak wartość naszej funkcji y zależy wprost proporcjonalnie od argumentu x powiekszona o stałą wartość b. W naszym przykładzie a to współczynnik proporcjonalności: im większy tym badziej zmiana argumentu x wpływa na zmianę wartości y. Nie obejdzie się bez przykładu, bo bez niego i ja sam nie rozumiem o czym do Was piszę. Dla ułatwienia sprawy przyjmiemy, że:

b=0

czyli:

y=ax

Przykład: Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością 300m/s, gdzie będzie po czasie 1s, 2s, 3s itd...
Odpowiedź: co sekundę będzie 300m dalej. Zaczynajac od punktu zero (b=0) po 1s będzie w odległości 300m, po 2s będzie kolejne 300m dalej, czyli w odłeglości 600m od źródła dźwięku itd...

Wzór na to przyjmie postać:

y=300*x

gdzie:

y odlegość (wyrażona w metrach) dź‌więku po x sekundach.

Do tego dodam rysunek niezbyt piękny, ale praktyczny:
wykres rozchodzenia się dźwięku
Legenda:
x: czas wyrażony w sekundach,
y: odległość dźwięku od źródła wyrażona w metrach.

Kolejny przykład:
Twój pupil zjada codziennie pół kg pokarmu. Ile będzie trzeba kupić, żeby wystarczyło na 3 dni, na 6 dni, a ile na 10 dni? Znowu pokazałem Wam prostszy przykład, gdzie: b=0,
a=0,5kg, a nasz wzor wyglada tak:
y=0,5kg*x
gdzie:
y to ilość pokarmu,
x to ilość dni
Podstawiając do tego wzoru 1, 2, 3 dni itd, otrzymamy ilość pokarmu dla pupila po danej ilości dni, a wartości ilości jedzenia dla każdego dnia jest ściśle określona, czyli mamy do czynienia z funkcją. Jest to funkcja liniowa, wykres utworzy nam linię prostą.

Kolejny przykład, tym razem będzie minimalnie trudniej, bo przyjmiemy wartość b różną od zera. Przyjmijmy naszego pupila zjadającego pół kg pokarmu i nasz zapas dla niego wartości dajmy na to 5 kg, oraz to, że dziś jest już najedzony, bo mamy wieczór. Zadanie: jakie będą nasze zapasy po 2 oraz 5 dniach i kiedy najpóźniej będzie trzeba te zapasy uzupełnić, bo początkowe 5kg się skończy? W naszym przykładzie mamy takie wartości:

a = -0,5kg (ilość pokarmu się zmniejsza stąd minus)
b = 5kg (stan początkowy zapasów) wzór będzie wyglądał tak:
y = -0,5*x + 5
Dziś mamy x=0 (jeszcze żaden dzień nie minął), czyli podstawiając do wzoru wyjdzie, że:
y= 5kg (bo pupil jeszcze nic nie zjadł)
Po 2 dniach podstawiamy x=2, czyli zjedzone zostały dwie porcje półkilowe, odejmiemy je od początkowych pięciu i zostaje nam 4kg zapasu.

y = -0,5*2 +5

y = 4

Podobnie po 5 dniach podstawiamy do wzoru x=5, czyli pupil zjadł 2,5kg, odejmujemy to od początkowych 5kg i zostaje nam 2,5 kg.

y = -0,5*5 +5

y = 2.5

Łatwo zauważyć, że po 10 dniach będzie trzeba odwiedzic sklep zoologiczny, żeby uzupełnić zapas, bo gdy podstawimy:

x = 10, to wyjdzie nam

y = -0.5*10 + 5

Kolejny przykład będzie o motoryzacji. Przyjmijmy, że jedziemy w daleką podróż samochodem, który spala średnio 8 litrow paliwa na 100 kilometrów. Zadanie: ile potrzebujemy paliwa na przejechanie 100km, 200km, a ile na przejechanie 500km drogi? Zaczęliśmy znowu od przykładu łatwiejszego, gdzie b=0, a nasz wzór będzie się prezentował następująco:

y = 8*x, gdzie

y to potrzebne paliwo, a x ilość setek kilometrów do przejechania.

Aby rozwiązać zadanie musimy do tego wzoru podstawić odpowiednio 1 setkę, 2 i 5.
Po podstawieniu do wzoru x=1 otrzymamy 8 litrów paliwa na 100 km, bo:

y = 8*1

Na 200km potrzebujemy 16 litrów:

y = 8*2
y = 16
I 40 litrów potrzeba na 500km.
y = 8*5
y = 40

Podobne zadanie: auto takie samo, tak samo jedziemy w podróż i mamy pełny bak, a w nim 50 litrów paliwa.
Pytanie: ile będzie paliwa po przejechaniu 300 km, a kiedy najpóźniej będzie trzeba odwiedzić stację paliw w celu zatankowania?
Rozwiązanie: nasz wzór przyjmie postać taką:
y = -8*x + 50 gdzie:
y - ilość paliwa w baku
x - ilość przejechanych setek kilometrów
a= -8 (8 litrów paliwa nam ubywa z baku po każdych 100 kilometrach).
b= 50 litrów (stan z początku podróży)
Aby policzyć ile będzie paliwa po 300 km, należy podstawić do wzoru x=3, czyli spalimy 24 litry, odejmiemy je od początkowych 50-ciu i otrzymamy 26 litrów:

y = -8*3+50

Żeby policzyć kiedy skończy nam się paliwo podstawiamy we wzorze y=0, czyli mamy:

0 = -8*x+50
8*x=50
x=6,25 Odpowiedź: po przejechaniu 625km skończy się paliwo w baku, więc trzeba odpowiednio wcześniej odwiedzić stację paliw.

Kolejne zadanie będzie dotyczyło portfela młodego ucznia Krzysia, któremu mama codziennie od jutra daje małą kwotę na drobne wydatki. Przyjmijmy, że jest to 2zł. Załóżmy, że Krzyś zamiast wydawać te pieniądze na drobne wydatki, postanowił je odkładać i nazbierać na wymarzoną zabawkę. Wzór na ilość odłożonej gotówki każdego dnia będzie wyglądał tak:
y = 2* x
w powyższym wzorze przyjmujemy, że Krzyś zaczynał od pustej skarbonki, dlatego b=0; gdyby coś w niej miał np. 5zł, wtedy
b=5,
a nasz,wzór wygląda tak:
y = 2*x+5.
To ile Krzyś będzie miał każdego kolejnego dnia można łatwo policzyć z tych wzorów, a na wykresie punkty będą tworzyły linię prostą, dlatego wszystkie funkcje o wzorze y=ax+b nazywamy liniowe.
Teraz załóżmy, że zabawka o któej myśli Krzyś kosztuje 15zł, jak policzyć po ilu dniach Krzyś będzie miał taką gotówkę w skarbonce?
Nasze założenie to:
Przy jakim x wartość funkcji będzie wynosić 15.
y=15
Podstawiamy do wzoru:
15 = 2*x + 5
15 - 5 = 2*x
10 = 2*x
5 = x
x = 5


Odpowiedź: Po 5 dniach Krzyś będzie miał odłożone 15zł na zabawkę.
Jak łatwo policzyć:
po pierwszym dniu mamy:
y = 2*1 + 5, czyli:
y = 7
po kolejnym:
y = 2*2 + 5, czyli:
y = 9
po kolejnym:
y = 2*3 + 5, czyli:
y = 11
po kolejnym:
y = 2*4 + 5, czyli:
y = 13
i po piątym dniu:
y = 2*5 + 5, czyli:
y = 15.

Na następnej stronie podpowiem Wam jak narysować wykres funkcji liniowej, ale na podstawie Waszego wpisanego wzoru, a nie mojego.