Witam na stronie z korepetycjami z matematyki on-line i zapraszam do korzystania.



Wartości funkcji trygonometrycznych.


Wiem, że ten temat jest dość trudny dla wielu uczniów, a tabelka z sinusami i cotangensami kątów ostrych śni się po nocach wielu z Was.
Wiem też, że nie uwierzycie, jeśli powiem że ostatni raz tą tabelkę widziałem dawno dawno temu, ale napisze ją Wam z głowy, a później wytłumaczę jak to się robi.

Zatem do dzieła, oto tabelka:


sincostgctg
010nie istnieje
30°
45°11
60°
90°10nie istnieje0
Wypełnienie tej tabelki zajęło mi może z 2 minuty, choć nie korzystałem z funkcji trygonometrycznych bardzo długi czas, a jak to zrobiłem? Już Wam to pokażę:

Zaczynam od narysowania trójkąta równobocznego:

trójkąt równoboczny

Wiadomo: wszystkie boki równe, wszystkie kąty równe.
W naszym przypadku boki mają długość a=2*b, katy mają wiadomo 60°, a wysokość trójkąta to h.
Swoją drogą potrzebny będzie wzór na wysokość trójkąta równobocznego, a jak się pewnie domyślacie, ja go nie pamiętam. I wiecie pewnie ze za minute będę go miał, ale nie z tablic matematycznych, ani nie od wujka g. Jak będzie potrzebny to go znajdziemy razem.
To zaczynamy:
sin 30° to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kata do przeciwprostokątnej, czyli u nas (a/2)/a.
Innymi słowy jest to połowa długości boku przez całą długość: połowa a podzielona na całe a, to po prostu połowa.

sin 60° to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, czyli u nas h/a.
Tu wspomniany wyżej wzór na wysokość trójkąta równobocznego się przyda, więc jak go znajdziemy? Jest namalowany na rysunku! Do tego skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że:
(a/2)2+2h=a2
czyli:
h2=a2-a2/4
h2=3*a2/4
h=a*
Wracając do sinusa kata 60° wynosi on h/a, czyli (pier z 3*a/2)/a, czyli .
Mamy już 2 pola w tabelce wypełnione. Teraz czas na cos 30° i cos 60°.
Tu już będzie łatwiej, bo przecież cos 30° to sin 60°, a cos 60° to sin 30°.
Tym samym, mamy już 4 pola w tabelce.
Czas na tg i ctg kątów 30° i 60°.
Na podstawie naszego trójkąta równobocznego:
tg 30° to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej, czyli u nas (a/2)/h.
Innymi słowy jest to połowa długości podzielona przez wysokość.
Po krótkich obliczeniach, wychodzi nam że jest to 1/pier z 3, czyli .
Tym samym mamy też ctg 60°, bo wynosi on tyle samo, co tg 30° policzony 2 linijki powyżej.
Teraz tg 60°:
tg 60° to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej, czyli u nas h/(a/2).
Innymi słowy jest to wysokość podzielona przez polowe długości boku albo inaczej odwrotność tg 30°.
tg 60°=h/(a/2)
tg 60°=(pier z 3*a/2)/(a/2)
Wartość a/2 się skraca i mamy:
tg 60°= , czyli tak jak pisaliśmy wcześniej odwrotność tg 30°.
Tym samym ctg 30° to też .

Teraz zajmiemy się funkcjami trygonometrycznymi kąta 45°. Przyda nam się do tego trójkąt prostokątny, równoramienny, którego obie przyprostokątne są równej długości, taki jak na rysunku poniżej:
trójkąt prostokątny równramienny
Zaczniemy od najłatwiejszego, czyli funkcji tangens i cotangens. Zatem z definicji tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, do drugiej przyprostokątnej, czyli z naszego rysunku tg 45°=a/a, czyli tg 45° = 1.
Tak samo będzie z funkcją cotangens, bo to też na naszym rysunku a/a, czyli ctg 45° = 1.
Trochę trudniej będzie z funkcjami sinus i cosinus, ale też sobie poradzimy bez sięgania do tablic matematycznych. Jak widzicie na naszym rysunku:
sin 45°=a/c,
gdzie: c jest w naszym przypadku przekątną kwadratu o boku a, widzicie to?
Z drugiej strony bardzo łatwo jest obliczyć długość c z twierdzenia Pitagorasa, czyli:
c2=a2 +a2
c2=2 *a2
c=a*
Zatem
sin 45° = 1/pier2 =
cos 45° = sin 45° =
Na koniec wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0° i 90°. Zaczniemy od: sin 90°. Wyobraź sobie, że w powyższym trójkącie jedna z przyprostokątnych zmniejsza się do minimum, czyli kąt ostry przy niej dąży do 90°. W praktyce nigdy go nie osiąga, bo trójkąt przestanie być trójkątem. Jeśli kąt zmierza do wartości 90°, to sin tego kąta to dalej a/c, przy czym przeciwprostokątna c osiąga długość a.
sin 90° = a/a, czyli 1.
Cos tego kąta to (skoro przyprostokątna zmierza do zera) 0/c, czyli 0.
Tg 0° to 0/a, czyli 0, a tg 90° to a/0 czyli nie istnieje.
Ctg 90° to odpowiednio 0, a ctg 0° nie istnieje.